Daire, parçaları, boyutları ve ilişkileri kuyumcunun sürekli karşılaştığı şeylerdir. Yüzükler, bilezikler, kasnaklar, tüpler, toplar, spiraller - pek çok yuvarlak şeyin yapılması gerekiyor. Tüm bunları nasıl hesaplayabilirsiniz, özellikle de okuldaki geometri derslerini atlayacak kadar şanslıysanız?..
Önce bir dairenin hangi parçaları olduğuna ve bunlara ne ad verildiğine bakalım.
- Bir daire, bir daireyi çevreleyen bir çizgidir.
- Yay bir dairenin parçasıdır.
- Yarıçap, bir dairenin merkezini daire üzerindeki herhangi bir noktaya bağlayan bir segmenttir.
- Akor, bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren bir segmenttir.
- Segment, bir kiriş ve bir yay tarafından sınırlanan bir dairenin parçasıdır.
- Sektör, iki yarıçap ve bir yay ile sınırlanan bir dairenin parçasıdır.
İlgilendiğimiz miktarlar ve bunların tanımları:
Şimdi bir dairenin parçalarıyla ilgili hangi problemlerin çözülmesi gerektiğine bakalım.
- Yüzüğün (bilezik) herhangi bir kısmının gelişim uzunluğunu bulun. Çap ve kiriş (seçenek: çap ve merkez açı) verildiğinde yayın uzunluğunu bulun.
- Bir düzlemde bir çizim var, onu bir yay şeklinde büktükten sonra projeksiyonda boyutunu bulmanız gerekiyor. Yay uzunluğu ve çapı verildiğinde kiriş uzunluğunu bulun.
- Düz bir iş parçasını yay şeklinde bükerek elde edilen parçanın yüksekliğini bulun. Kaynak veri seçenekleri: yay uzunluğu ve çapı, yay uzunluğu ve kirişi; doğru parçasının yüksekliğini bulun.
Hayat size başka örnekler de verecektir, ancak bunları yalnızca diğerlerini bulmak için iki parametreyi ayarlamanın gerekliliğini göstermek için verdim. Yapacağımız şey bu. Yani segmentin beş parametresini alacağız: D, L, X, φ ve H. Daha sonra onlardan olası tüm çiftleri seçerek bunları başlangıç verileri olarak değerlendireceğiz ve geri kalan her şeyi beyin fırtınası yaparak bulacağız.
Okuyucuyu gereksiz yere yormamak için ayrıntılı çözümler vermeyeceğim, sonuçları yalnızca formüller halinde sunacağım (resmi bir çözümün olmadığı durumları yol boyunca tartışacağım).
Ve bir not daha: ölçü birimleri hakkında. Merkezi açı dışındaki tüm büyüklükler aynı soyut birimlerle ölçülür. Bu, örneğin bir değeri milimetre cinsinden belirtirseniz, diğerinin santimetre cinsinden belirtilmesine gerek olmadığı ve ortaya çıkan değerlerin aynı milimetre (ve milimetre kare cinsinden alanlar) cinsinden ölçüleceği anlamına gelir. Aynı şey inç, fit ve deniz mili için de söylenebilir.
Ve her durumda yalnızca merkezi açı derece olarak ölçülür, başka hiçbir şey yapılmaz. Çünkü genel bir kural olarak, yuvarlak bir şey tasarlayan insanlar açıları radyan cinsinden ölçme eğiliminde değildir. "Pi açısı dört" ifadesi birçok kişinin kafasını karıştırırken, "kırk beş derecelik açı" normalden yalnızca beş derece yüksek olduğu için herkes tarafından anlaşılabilir. Ancak tüm formüllerde ara değer olarak bir açı daha (α) bulunacaktır. Anlam olarak, bu, radyan cinsinden ölçülen merkezi açının yarısıdır, ancak bu anlamı güvenle araştıramazsınız.
1. Çap D ve yay uzunluğu L verildiğinde
; Kord uzunluğu 
;
bölüm yüksekliği 
; merkez açı 
.
2. Verilen çap D ve kiriş uzunluğu X
; yay uzunluğu ;
bölüm yüksekliği ; merkez açı 
.
Kiriş daireyi iki parçaya böldüğü için bu problemin bir değil iki çözümü vardır. İkinciyi elde etmek için yukarıdaki formüllerdeki α açısını açıyla değiştirmeniz gerekir.
3. D çapı ve φ merkez açısı göz önüne alındığında
; yay uzunluğu ;
Kord uzunluğu ; bölüm yüksekliği .
4. H segmentinin D çapı ve yüksekliği göz önüne alındığında
; yay uzunluğu ;
Kord uzunluğu ; merkez açı .
6. Verilen yay uzunluğu L ve merkez açısı φ
; çap ;
Kord uzunluğu ; bölüm yüksekliği .
8. X kiriş uzunluğu ve φ merkez açısı göz önüne alındığında
; yay uzunluğu 
;
çap ; bölüm yüksekliği .
9. X kirişinin uzunluğu ve H segmentinin yüksekliği göz önüne alındığında
; yay uzunluğu ;
çap ; merkez açı .
10. Merkezi açı φ ve H doğru parçasının yüksekliği göz önüne alındığında
; çap 
;
yay uzunluğu ; Kord uzunluğu .
Dikkatli okuyucu iki seçeneği kaçırdığımı fark etmeden edemedi:
5. Yay uzunluğu L ve kiriş uzunluğu X verildiğinde
7. L yayının uzunluğu ve H doğru parçasının yüksekliği verildiğinde
Bunlar, problemin formül biçiminde yazılabilecek bir çözümü olmadığı iki hoş olmayan durumdur. Ve görev o kadar da nadir değil. Örneğin, L uzunluğunda düz bir parçanız var ve onu uzunluğu X (veya yüksekliği H) olacak şekilde bükmek istiyorsunuz. Mandreli (çapraz çubuk) hangi çapta almalıyım?
Bu problem denklemlerin çözülmesiyle ilgilidir: 
; - seçenek 5'te
; - seçenek 7'de
analitik olarak çözülemeseler de programlı olarak kolaylıkla çözülebilirler. Hatta böyle bir programı nereden alacağımı bile biliyorum: tam da bu sitede, adı altında . Burada size uzun uzun anlattığım her şeyi mikrosaniyeler içinde yapıyor.
Resmi tamamlamak için hesaplamalarımızın sonuçlarına çevreyi ve üç alan değerini (daire, sektör ve segment) ekleyelim. (Alanlar, tüm yuvarlak ve yarım daire şeklindeki parçaların kütlesini hesaplarken bize çok yardımcı olacaktır, ancak bu konuda daha fazla bilgi ayrı bir makalede yer alacaktır.) Tüm bu miktarlar aynı formüller kullanılarak hesaplanır:
çevre;
bir dairenin alanı 
;
sektör alanı 
;
bölüm alanı 
;
Ve sonuç olarak, yukarıdaki hesaplamaların tümünü gerçekleştiren, sizi arktanjantın ne olduğunu ve onu nerede arayacağınızı hatırlama ihtiyacından kurtaran tamamen ücretsiz bir programın varlığını bir kez daha hatırlatmama izin verin.
Bir Daire Parçasını Tanımlama
Segment bir dairenin bir kısmının kirişle kesilmesiyle elde edilen geometrik bir şekildir.
Cevrimici hesap makinesi
Bu rakam akor ile dairenin yayı arasında bulunur.
AkorBu, bir dairenin içinde uzanan ve üzerinde rastgele seçilen iki noktayı birbirine bağlayan bir segmenttir.
Bir dairenin bir kısmını akor ile keserken, iki rakamı düşünebilirsiniz: bu bizim segmentimiz ve kenarları dairenin yarıçapı olan bir ikizkenar üçgendir.
Bir segmentin alanı, bir daire sektörünün alanları ile bu ikizkenar üçgenin alanları arasındaki fark olarak bulunabilir.
Bir segmentin alanı çeşitli şekillerde bulunabilir. Onlara daha detaylı bakalım.
Dairenin yarıçapını ve yay uzunluğunu, üçgenin yüksekliğini ve tabanını kullanan bir daire parçasının alanı için formül
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ⋅ R⋅s –2 1 ⋅ h⋅A
RR R- dairenin yarıçapı;
bu S- yay uzunluğu;
h h H- ikizkenar üçgenin yüksekliği;
bir bir A- bu üçgenin tabanının uzunluğu.
Bir daire verildiğinde yarıçapı sayısal olarak 5 (cm), üçgenin tabanına çizilen yükseklik 2 (cm), yayın uzunluğu 10 (cm) olur. Bir daire parçasının alanını bulun.
Çözüm
R=5R=5 R=5
saat = 2 saat=2 saat =2
s = 10 s=10 s =1
0
Alanı hesaplamak için sadece üçgenin tabanına ihtiyacımız var. Formülü kullanarak bulalım:
A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8bir =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R - h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8
Artık segmentin alanını hesaplayabilirsiniz:
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ⋅ R⋅s –2 1 ⋅ h⋅bir =2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (bkz. kare)
Cevap: 17cm²
Dairenin yarıçapı ve merkez açısı verilen bir daire parçasının alanı için formül
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ⋅ (α − günah(α))
RR R- dairenin yarıçapı;
α\alfa α
- akoru belirleyen iki yarıçap arasındaki merkezi açı, radyan cinsinden ölçülür.
Dairenin yarıçapı 7 (cm) ve merkez açısı 30 derece ise daire parçasının alanını bulun.
Çözüm
R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Öncelikle derece cinsinden açıyı radyana çevirelim. Çünkü π\pi π
Bir radyan 180 dereceye eşittir, o zaman:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3
0
∘
=
3
0
∘
⋅
1
8
0
∘
π
=
6
π
radyan. O zaman segmentin alanı:
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\yaklaşık0,57S=2 R 2 ⋅ (α − günah(α)) =2 4 9 ⋅ ( 6 π − günah ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (bkz. kare)
Cevap: 0,57 cm²
Alanın matematiksel değeri Antik Yunan'dan beri bilinmektedir. O uzak zamanlarda bile Yunanlılar, bir alanın, her tarafı kapalı bir konturla sınırlanan bir yüzeyin sürekli bir parçası olduğunu keşfettiler. Bu, birim karelerle ölçülen sayısal bir değerdir. Alan, hem düz geometrik şekillerin (planimetrik) hem de cisimlerin uzaydaki yüzeylerinin (hacimsel) sayısal bir özelliğidir.
Şu anda sadece okul müfredatında geometri ve matematik derslerinde değil, aynı zamanda astronomi, günlük yaşam, inşaat, tasarım geliştirme, imalat ve diğer birçok insani konuda da bulunmaktadır. Bir peyzaj alanı tasarlarken veya ultra modern bir oda tasarımında yenileme çalışmaları sırasında çoğu zaman kişisel bir arsa üzerindeki bölümlerin alanlarını hesaplamaya başvuruyoruz. Bu nedenle, çeşitli alanların hesaplanmasına yönelik yöntemlerin bilgisi her zaman ve her yerde faydalı olacaktır.
Dairesel bir parçanın ve bir küre parçasının alanını hesaplamak için hesaplama işlemi sırasında ihtiyaç duyulacak geometrik terimleri anlamanız gerekir.
Her şeyden önce, bir dairenin bir parçası, bir dairenin yayı ile onu kesen akor arasında yer alan bir dairenin düz bir şeklinin bir parçasıdır. Bu kavramı sektör rakamı ile karıştırmamak gerekir. Bunlar tamamen farklı şeyler.
Akor, bir daire üzerinde bulunan iki noktayı birleştiren bir segmenttir.
Merkezi açı iki bölüm - yarıçap arasında oluşur. Üzerinde durduğu yay ile derece cinsinden ölçülür.
Bir parça bir düzlem tarafından kesildiğinde bir küre parçası oluşur.Bu durumda, küresel parçanın tabanı bir dairedir ve yüksekliği, dairenin merkezinden yüzeyle kesişme noktasına çıkan diktir. kürenin. Bu kesişme noktasına top parçasının tepe noktası denir.
Bir küre parçasının alanını belirlemek için kesme dairesini ve küresel parçanın yüksekliğini bilmeniz gerekir. Bu iki bileşenin çarpımı küre parçasının alanı olacaktır: S=2πRh, burada h parçanın yüksekliği, 2πR çevresi ve R büyük dairenin yarıçapıdır.
Bir daire parçasının alanını hesaplamak için aşağıdaki formüllere başvurabilirsiniz:
1. Bir segmentin alanını en basit şekilde bulmak için, segmentin yazılı olduğu ve tabanı segmentin akoru olan sektörün alanı arasındaki farkı hesaplamak gerekir: S1 = S2 -S3, burada S1 segmentin alanı, S2 sektörün alanı ve S3 alan üçgenidir.
Dairesel bir parçanın alanını hesaplamak için yaklaşık bir formül kullanabilirsiniz: S=2/3*(a*h), burada a üçgenin tabanıdır veya h parçanın yüksekliğidir, bu da sonuçtur çemberin yarıçapı arasındaki fark ve
2. Yarım daireden farklı bir doğru parçasının alanı şu şekilde hesaplanır: S = (π R2:360)*α ± S3, burada π R2 dairenin alanıdır, α daire parçasının yayını içeren merkez açının derece ölçüsüdür, S3 dairenin iki yarıçapı arasında oluşan üçgenin alanıdır. daire ve dairenin merkez noktasında bir açıya ve yarıçapların daire ile temas noktalarında iki köşeye sahip olan kiriş.
α açısı ise< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 derece, artı işareti uygulandı.
3. Trigonometriyi kullanarak diğer yöntemleri kullanarak bir segmentin alanını hesaplayabilirsiniz. Kural olarak bir üçgen temel alınır. Merkez açı derece cinsinden ölçülürse aşağıdaki formül kabul edilebilir: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, burada R2 dairenin yarıçapının karesidir, α ise merkez açının derece ölçüsü.
4. Trigonometrik fonksiyonları kullanarak bir segmentin alanını hesaplamak için, merkezi açının radyan cinsinden ölçülmesi koşuluyla başka bir formül kullanabilirsiniz: S= R2 * (α - sin α)/2, burada R2, karesidir. Çemberin yarıçapı, α ise merkez açının ölçüsüdür.
Dairesel bir bölümün alanı, karşılık gelen dairesel sektörün alanı ile bölüme karşılık gelen sektörün yarıçapları ve bölümü sınırlayan akor tarafından oluşturulan üçgenin alanı arasındaki farka eşittir.
örnek 1
Çemberi çevreleyen kirişin uzunluğu a değerine eşittir. Kirişe karşılık gelen yayın derece ölçüsü 60°'dir. Dairesel parçanın alanını bulun.
Çözüm
İki yarıçap ve bir kirişten oluşan bir üçgen ikizkenardır, dolayısıyla merkez açının tepe noktasından kirişin oluşturduğu üçgenin kenarına çizilen yükseklik aynı zamanda merkez açının ortancası olacak ve onu ikiye bölecektir. ortanca, akoru ikiye böler. Açının sinüsünün karşı kenarın hipotenüse oranına eşit olduğunu bilerek yarıçapı hesaplayabiliriz:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, burada h, merkez açının tepe noktasından kirişe kadar çizilen yüksekliktir. Pisagor teoremine göre h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Buna göre S▲=√3/4*a².
Sreg = Sc - S▲ olarak hesaplanan segmentin alanı şuna eşittir:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
a'nın değeri yerine sayısal bir değer koyarak segment alanının sayısal değerini kolayca hesaplayabilirsiniz.
Örnek 2
Çemberin yarıçapı a'ya eşittir. Segmente karşılık gelen yayın derece ölçüsü 60°'dir. Dairesel parçanın alanını bulun.
Çözüm:
Belirli bir açıya karşılık gelen sektörün alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Sektöre karşılık gelen üçgenin alanı şu şekilde hesaplanır:
S▲=1/2*ah, burada h, merkez açının tepe noktasından kirişe kadar çizilen yüksekliktir. Pisagor teoremine göre h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Buna göre S▲=√3/4*a².
Ve son olarak Sreg = Sc - S▲ şeklinde hesaplanan segmentin alanı şuna eşittir:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Her iki durumda da çözümler neredeyse aynıdır. Böylece, en basit durumda bir segmentin alanını hesaplamak için, segmentin yayına karşılık gelen açının değerini ve iki parametreden birini - dairenin yarıçapını veya dairenin yarıçapını - bilmenin yeterli olduğu sonucuna varabiliriz. parçayı oluşturan dairenin yayına uzanan kirişin uzunluğu.