Yenilemeyi kendiniz yapmayı planlıyorsanız, inşaat ve kaplama malzemeleri için bir tahminde bulunmanız gerekecektir. Bunu yapmak için yenileme çalışması yapmayı planladığınız odanın alanını hesaplamanız gerekecektir. Bundaki ana yardımcı, özel olarak geliştirilmiş bir formüldür. Odanın alanı, yani hesaplanması, inşaat malzemelerinden çok fazla tasarruf etmenize ve serbest kalan finansal kaynakları daha uygun bir yöne yönlendirmenize olanak sağlayacaktır.
Odanın geometrik şekli
Bir odanın alanını hesaplama formülü doğrudan şekline bağlıdır. Ev binaları için en tipik olanı dikdörtgen ve kare odalardır. Ancak yeniden geliştirme sırasında standart form bozulabilir. Odalar:
- Dikdörtgen.
- Kare.
- Karmaşık konfigürasyon (örneğin yuvarlak).
- Nişler ve çıkıntılar ile.
Her birinin kendi hesaplama özellikleri vardır, ancak kural olarak aynı formül kullanılır. Herhangi bir şekil ve büyüklükteki bir odanın alanı öyle ya da böyle hesaplanabilir.
Dikdörtgen veya kare oda
Dikdörtgen veya kare bir odanın alanını hesaplamak için okul geometri derslerinizi hatırlamanız yeterli. Bu nedenle odanın alanını belirlemek sizin için zor olmasa gerek. Hesaplama formülü şöyle görünür:
S odaları=A*B, burada
A odanın uzunluğudur.
B odanın genişliğidir.
Bu değerleri ölçmek için normal bir şerit metreye ihtiyacınız olacaktır. En doğru hesaplamaları elde etmek için duvarı her iki taraftan ölçmeye değer. Değerler uyuşmuyorsa, ortaya çıkan verilerin ortalamasını esas alın. Ancak herhangi bir hesaplamanın kendi hataları olduğunu unutmayın, bu nedenle malzeme bir rezervle satın alınmalıdır.
Karmaşık konfigürasyona sahip bir oda
Odanız “tipik” tanımına uymuyorsa; daire, üçgen, çokgen şeklindeyse hesaplamalar için farklı bir formüle ihtiyacınız olabilir. Bu özelliğe sahip bir odanın alanını kabaca dikdörtgen elemanlara bölmeyi deneyebilir ve standart yöntemi kullanarak hesaplamalar yapabilirsiniz. Eğer bu fırsatınız yoksa aşağıdaki yöntemleri kullanın:
- Bir dairenin alanını bulma formülü:
S odası=π*R 2, burada
R odanın yarıçapıdır.
- Bir üçgenin alanını bulma formülü:
S odası = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)) burada
P üçgenin yarı çevresidir.
A, B, C kenarlarının uzunluklarıdır.
Dolayısıyla P=A+B+C/2
Hesaplama sürecinde herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız, kendinize eziyet etmemek ve profesyonellere başvurmak daha iyidir.
Çıkıntılar ve nişler içeren odanın alanı
Çoğu zaman duvarlar, çeşitli nişler veya çıkıntılar şeklinde dekoratif unsurlarla süslenir. Ayrıca onların varlığı, odanızın estetik olmayan bazı unsurlarını gizleme ihtiyacından kaynaklanıyor olabilir. Duvarınızda çıkıntıların veya nişlerin bulunması, hesaplamanın aşamalı olarak yapılması gerektiği anlamına gelir. Onlar. Öncelikle duvarın düz bir bölümünün alanı bulunur ve ardından buna niş veya çıkıntının alanı eklenir.
Duvarın alanı aşağıdaki formülle bulunur:
S duvarlar = P x C, burada
P - çevre
C - yükseklik
Ayrıca pencere ve kapıların varlığını da dikkate almanız gerekir. Alanları ortaya çıkan değerden çıkarılmalıdır.
Çok seviyeli tavanlı oda
Çok seviyeli bir tavan, hesaplamaları ilk bakışta göründüğü kadar karmaşıklaştırmaz. Basit bir tasarıma sahipse, o zaman nişler ve çıkıntılarla karmaşıklaşan duvarların alanını bulma prensibine göre hesaplamalar yapılabilir.
Ancak tavan tasarımınız kemerli ve dalga benzeri unsurlara sahipse bu durumda alanını taban alanı kullanarak belirlemeniz daha doğru olur. Bunu yapmak için ihtiyacınız olan:
- Duvarların tüm düz bölümlerinin boyutlarını bulun.
- Zemin alanını bulun.
- Dikey bölümlerin uzunluğunu ve yüksekliğini çarpın.
- Ortaya çıkan değeri taban alanıyla toplayın.
Genel olanı belirlemek için adım adım talimatlar
oda alanı
- Gereksiz şeylerden odayı temizleyin. Ölçüm işlemi sırasında odanızın tüm alanlarına ücretsiz erişime ihtiyacınız olacağından buna engel olabilecek her şeyden kurtulmanız gerekir.
- Odayı görsel olarak düzenli ve düzensiz şekilli alanlara bölün. Odanız kesinlikle kare veya dikdörtgen bir şekle sahipse bu adımı atlayabilirsiniz.
- Odanın rastgele bir düzenini yapın. Bu çizim, tüm verilerin her zaman elinizin altında olması için gereklidir. Ayrıca çok sayıda ölçümde kafanızın karışmasına da fırsat vermeyecektir.
- Ölçümler birkaç kez yapılmalıdır. Hesaplamalarda hataları önlemek için bu önemli bir kuraldır. Ayrıca eğer kullanıyorsanız kirişin duvar yüzeyinde düz durduğundan emin olun.
- Odanın toplam alanını bulun. Bir odanın toplam alanının formülü, odanın ayrı bölümlerinin tüm alanlarının toplamını bulmaktır. Onlar. S toplam = S duvar+S zemin+S tavan
Dünyanın nasıl ölçüleceğine dair bilgi eski zamanlarda ortaya çıktı ve yavaş yavaş geometri biliminde şekillendi. Bu kelime Yunancadan “arazi araştırması” olarak çevrilmiştir.
Dünyanın düz bir bölümünün uzunluk ve genişlik olarak ölçüsü alandır. Matematikte, genellikle Latince S harfi (İngilizce “kare” - “alan”, “kare” den) veya Yunanca σ harfi (sigma) ile gösterilir. S, bir düzlem üzerindeki bir şeklin alanını veya bir cismin yüzey alanını belirtir ve σ, fizikte bir telin kesit alanıdır. Bunlar ana sembollerdir, ancak başkaları da olabilir, örneğin malzemelerin mukavemeti alanında A, profilin kesit alanıdır.
Temas halinde
Hesaplama formülleri
Basit şekillerin alanlarını bilerek daha karmaşık şekillerin parametrelerini bulabilirsiniz.. Eski matematikçiler bunları kolayca hesaplamak için kullanılabilecek formüller geliştirdiler. Bu tür şekiller üçgen, dörtgen, çokgen, dairedir.
Karmaşık bir düzlem şeklinin alanını bulmak için üçgen, yamuk veya dikdörtgen gibi birçok basit şekle bölünür. Daha sonra matematiksel yöntemler kullanılarak bu şeklin alanı için bir formül türetilir. Benzer bir yöntem sadece geometride değil aynı zamanda matematiksel analizde de eğrilerle sınırlanan şekillerin alanlarının hesaplanmasında kullanılır.
Üçgen
En basit şekil olan bir üçgenle başlayalım. Dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenardırlar. Kenarları AB=a, BC=b ve AC=c (∆ ABC) olan herhangi bir ABC üçgenini alın. Alanını bulmak için okul matematik dersinden bilinen sinüs ve kosinüs teoremlerini hatırlayalım. Tüm hesaplamaları bir kenara bırakarak aşağıdaki formüllere ulaşıyoruz:
- S=√ - Herkesin bildiği Heron formülü, burada p=(a+b+c)/2 üçgenin yarı çevresidir;
- S=a h/2, burada h, a kenarına indirilen yüksekliktir;
- S=a b (sin γ)/2; burada γ, a ve b kenarları arasındaki açıdır;
- S=a b/2, eğer ∆ ABC dikdörtgen ise (burada a ve b bacaklardır);
- S=b² (sin (2 β))/2, eğer ∆ ABC ikizkenar ise (burada b "kalçalardan" biridir, β üçgenin "kalçaları" arasındaki açıdır);
- S=a² √¾, eğer ∆ ABC eşkenar ise (burada a üçgenin bir kenarıdır).
Dörtgen
AB=a, BC=b, CD=c, AD=d olan bir ABCD dörtgeni olsun. Rasgele bir 4-genin S alanını bulmak için, onu köşegenle iki üçgene bölmeniz gerekir; genel durumda S1 ve S2 alanları eşit değildir.
Daha sonra bunları hesaplamak ve eklemek için formülleri kullanın, yani S=S1+S2. Bununla birlikte, eğer 4-gon belirli bir sınıfa aitse, alanı önceden bilinen formüller kullanılarak bulunabilir:
- S=(a+c) h/2=e h, eğer tetragon bir yamuk ise (burada a ve c tabanlardır, e yamuğun orta çizgisidir, h yamuğun tabanlarından birine indirilen yüksekliktir);
- S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, eğer ABCD bir paralelkenar ise (burada φ a ve b kenarları arasındaki açıdır, h a kenarına düşen yüksekliktir, d1 ve d2 köşegenlerdir);
- S=a b=d²/2, eğer ABCD bir dikdörtgense (d bir köşegendir);
- S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, eğer ABCD bir eşkenar dörtgen ise (a eşkenar dörtgenin kenarıdır, φ açılarından biridir, P çevredir);
- ABCD bir kare ise S=a²=P²/16=d²/2.
Çokgen
Bir n-gon'un alanını bulmak için matematikçiler onu en basit eşit rakamlara (üçgenler) ayırır, her birinin alanını bulur ve sonra bunları ekler. Ancak çokgen normal sınıfa aitse şu formülü kullanın:
S=a n h/2=a² n/=P²/, burada n çokgenin köşe (veya kenar) sayısıdır, a n-gon'un kenarıdır, P çevresidir, h kısa çizgidir, yani a Çokgenin merkezinden kenarlarından birine 90° açıyla çizilen parça.
Daire
Daire sonsuz sayıda kenarı olan mükemmel bir çokgendir. Kenar sayısı n sonsuza uzanan çokgenin alanı için formülde sağdaki ifadenin limitini hesaplamamız gerekiyor. Bu durumda çokgenin çevresi, dairemizin sınırı olacak R yarıçaplı bir dairenin uzunluğuna dönüşecek ve P=2 π R'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi yukarıdaki formülde yerine koyun. Alacağız:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
Bu ifadenin limitini n→∞ olarak bulalım. Bunu yapmak için, n→∞ için lim (cos (180°/n)) cos 0°=1'e eşit olduğunu (lim sınırın işaretidir) ve n→∞ için lim = lim'in şu olduğunu hesaba katarız: 1/π'ye eşit (derece ölçüsünü π rad=180° ilişkisini kullanarak radyana dönüştürdük ve ilk dikkat çekici limiti lim (sin x)/x=1'i x→∞'da uyguladık). Elde edilen değerleri S'nin son ifadesine değiştirerek iyi bilinen formüle ulaşıyoruz:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
Birimler
Sistemik ve sistemik olmayan ölçü birimleri kullanılır. Sistem birimleri SI'ya (System International) aittir. Bu bir metrekaredir (metrekare, m²) ve bundan türetilen birimler: mm², cm², km².
Milimetre kare (mm²) cinsinden, örneğin elektrik mühendisliğinde tellerin kesit alanını santimetre kare (cm²) cinsinden ölçerler - yapısal mekanikte bir kirişin kesiti, metrekare (m²) cinsinden - bir apartman dairesinde veya evde, kilometre kare (km²) cinsinden - coğrafyada .
Ancak bazen örgü, ar (a), hektar (ha) ve dönüm (ac) gibi sistemik olmayan ölçü birimleri kullanılır. Aşağıdaki ilişkileri sunalım:
- 1 örgü=1 a=100 m²=0,01 hektar;
- 1 ha=100 a=100 dönüm=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
- 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 dönüm = 0,405 hektar.
Geometri problemlerini çözmek için, üçgenin alanı veya paralelkenarın alanı gibi formüllerin yanı sıra ele alacağımız basit teknikleri de bilmeniz gerekir.
Öncelikle şekillerin alanlarının formüllerini öğrenelim. Bunları özel olarak uygun bir tabloda topladık. Yazdırın, öğrenin ve uygulayın!
Elbette tüm geometri formülleri tablomuzda yer almıyor. Örneğin, matematikte Birleşik Devlet Sınavı profilinin ikinci bölümünde geometri ve stereometri problemlerini çözmek için üçgenin alanı için diğer formüller kullanılır. Size bunları mutlaka anlatacağız.
Peki ya bir yamuk veya üçgenin alanını değil, karmaşık bir şeklin alanını bulmanız gerekiyorsa? Evrensel yollar var! FIPI görev bankasındaki örnekleri kullanarak bunları göstereceğiz.
1. Standart olmayan bir şeklin alanı nasıl bulunur? Örneğin keyfi bir dörtgen mi? Basit bir teknik - hadi bu rakamı hakkında her şeyi bildiğimiz rakamlara bölelim ve bu rakamların alanlarının toplamı olarak alanını bulalım.
Bu dörtgeni yatay bir çizgiyle ortak tabanları eşit olan iki üçgene bölün. Bu üçgenlerin yükseklikleri eşittir Ve . O zaman dörtgenin alanı iki üçgenin alanlarının toplamına eşittir: .
Cevap: .
2. Bazı durumlarda bir şeklin alanı, bazı alanların farkı olarak gösterilebilir.
Bu üçgenin taban ve yüksekliğinin neye eşit olduğunu hesaplamak o kadar kolay değil! Ancak alanının bir kenarı olan bir kare ile üç dik üçgenin alanları arasındaki farka eşit olduğunu söyleyebiliriz. Resimde onları görüyor musun? Şunu alıyoruz: .
Cevap: .
3. Bazen bir görevde şeklin tamamının değil bir kısmının alanını bulmanız gerekir. Genellikle bir dairenin parçası olan bir sektörün alanından bahsediyoruz.Yay uzunluğu eşit olan yarıçaplı bir dairenin sektörünün alanını bulun .
Bu resimde bir dairenin parçasını görüyoruz. Tüm dairenin alanı eşittir. Çemberin hangi kısmının tasvir edildiğini bulmaya devam ediyor. Tüm dairenin uzunluğu eşit olduğundan (çünkü) ve belirli bir sektörün yayının uzunluğu eşittir bu nedenle yayın uzunluğu tüm dairenin uzunluğundan birkaç kat daha azdır. Bu yayın bulunduğu açı da tam daireden (yani dereceden) daha küçük bir faktördür. Bu, sektörün alanının tüm dairenin alanından birkaç kat daha küçük olacağı anlamına gelir.
Geometrik bir şeklin alanı- bu şeklin boyutunu gösteren geometrik bir şeklin sayısal özelliği (yüzeyin bu şeklin kapalı konturuyla sınırlanan kısmı). Alanın büyüklüğü, içerdiği birim karelerin sayısıyla ifade edilir.
Üçgen alan formülleri
- Yan ve yüksekliğe göre bir üçgenin alanı için formül
Bir üçgenin alanı Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu ile bu kenara çizilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir - Üç tarafa ve çevrel dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
- Üç tarafa ve yazılı dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
Bir üçgenin alanıüçgenin yarı çevresi ile yazılı dairenin yarıçapının çarpımına eşittir. burada S üçgenin alanıdır,
- üçgenin kenarlarının uzunlukları,
- üçgenin yüksekliği,
- kenarlar arasındaki açı ve,
- yazılı dairenin yarıçapı,
R - çevrelenmiş dairenin yarıçapı,
Kare alan formülleri
- Kenar uzunluğuna göre karenin alanı formülü
Kare alan kenar uzunluğunun karesine eşittir. - Köşegen uzunluğu boyunca bir karenin alanı için formül
Kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.S= 1 2 2 burada S karenin alanıdır,
- karenin kenar uzunluğu,
- karenin köşegeninin uzunluğu.
Dikdörtgen alan formülü
- Dikdörtgenin alanı iki komşu kenarının uzunluklarının çarpımına eşit
burada S dikdörtgenin alanıdır,
- dikdörtgenin kenarlarının uzunlukları.
Paralelkenar alan formülleri
- Kenar uzunluğuna ve yüksekliğine dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
Paralelkenarın alanı - İki tarafa ve aralarındaki açıya dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
Paralelkenarın alanı kenarlarının uzunluklarının çarpımının aralarındaki açının sinüsüyle çarpımına eşittir.a b günah α
burada S paralelkenarın alanıdır,
- Paralelkenarın kenarlarının uzunlukları,
- paralelkenar yüksekliğinin uzunluğu,
- paralelkenarın kenarları arasındaki açı.
Eşkenar dörtgen alanı için formüller
- Kenar uzunluğu ve yüksekliğine göre eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi tarafının uzunluğu ile bu tarafa indirilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımına eşittir. - Kenar uzunluğuna ve açıya dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi kenarının uzunluğunun karesi ile eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir. - Köşegenlerinin uzunluklarına dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir. burada S eşkenar dörtgenin alanıdır,
- eşkenar dörtgenin kenarının uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin yüksekliğinin uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açı,
1, 2 - köşegen uzunlukları.
Yamuk alan formülleri
- Heron'un yamuk formülü
S yamuğun alanı olduğunda,
- yamuk tabanlarının uzunlukları,
- yamuğun kenarlarının uzunlukları,