Geometrik bir şeklin alanı- bu şeklin boyutunu gösteren geometrik bir şeklin sayısal özelliği (yüzeyin bu şeklin kapalı konturuyla sınırlanan kısmı). Alanın büyüklüğü, içerdiği birim karelerin sayısıyla ifade edilir.
Üçgen alan formülleri
- Yan ve yüksekliğe göre bir üçgenin alanı için formül
Bir üçgenin alanı Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu ile bu kenara çizilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir - Üç tarafa ve çevrel dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
- Üç tarafa ve yazılı dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
Bir üçgenin alanıüçgenin yarı çevresi ile yazılı dairenin yarıçapının çarpımına eşittir. burada S üçgenin alanıdır,
- üçgenin kenarlarının uzunlukları,
- üçgenin yüksekliği,
- kenarlar arasındaki açı ve,
- yazılı dairenin yarıçapı,
R - çevrelenmiş dairenin yarıçapı,
Kare alan formülleri
- Kenar uzunluğuna göre karenin alanı formülü
Kare alan kenar uzunluğunun karesine eşittir. - Köşegen uzunluğu boyunca bir karenin alanı için formül
Kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.S= 1 2 2 burada S karenin alanıdır,
- karenin kenar uzunluğu,
- karenin köşegeninin uzunluğu.
Dikdörtgen alan formülü
- Dikdörtgenin alanı iki komşu kenarının uzunluklarının çarpımına eşit
burada S dikdörtgenin alanıdır,
- dikdörtgenin kenarlarının uzunlukları.
Paralelkenar alan formülleri
- Kenar uzunluğuna ve yüksekliğine dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
Paralelkenarın alanı - İki tarafa ve aralarındaki açıya dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
Paralelkenarın alanı kenarlarının uzunluklarının çarpımı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.a b günah α
burada S paralelkenarın alanıdır,
- Paralelkenarın kenarlarının uzunlukları,
- paralelkenar yüksekliğinin uzunluğu,
- paralelkenarın kenarları arasındaki açı.
Eşkenar dörtgen alanı için formüller
- Kenar uzunluğu ve yüksekliğine göre eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi tarafının uzunluğu ile bu tarafa indirilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımına eşittir. - Kenar uzunluğuna ve açıya dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi kenarının uzunluğunun karesi ile eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir. - Köşegen uzunluklarına dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir. burada S eşkenar dörtgenin alanıdır,
- eşkenar dörtgenin kenarının uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin yüksekliğinin uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açı,
1, 2 - köşegen uzunlukları.
Yamuk alan formülleri
- Heron'un yamuk formülü
S yamuğun alanı olduğunda,
- yamuk tabanlarının uzunlukları,
- yamuğun kenarlarının uzunlukları,
Paralelkenarın alanı
Teorem 1
Paralelkenarın alanı, kenarının uzunluğu ile ona çizilen yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır.
burada $a$ paralelkenarın bir kenarıdır, $h$ bu kenara çizilen yüksekliktir.
Kanıt.
Bize $AD=BC=a$ olan bir $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF$ ve $AE$ yüksekliklerini çizelim (Şekil 1).
Resim 1.
Açıkçası, $FDAE$ rakamı bir dikdörtgendir.
\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\açı A=\açı BAE\]
Sonuç olarak, $CD=AB,\ DF=AE=h$ olduğundan, üçgenlerin eşitliği için $I$ kriterine göre $\triangle BAE=\triangle CDF$. Daha sonra
Yani dikdörtgenin alanı teoremine göre:
Teorem kanıtlandı.
Teorem 2
Paralelkenarın alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun bu kenarlar arasındaki açının sinüsü ile çarpımı olarak tanımlanır.
Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir
burada $a,\ b$ paralelkenarın kenarlarıdır, $\alpha $ aralarındaki açıdır.
Kanıt.
Bize $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ olan bir $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF=h$ yüksekliğini çizelim (Şekil 2).
Şekil 2.
Sinüs tanımı gereği, şunu elde ederiz:
Buradan
Yani, $1$ Teoremine göre:
Teorem kanıtlandı.
Bir üçgenin alanı
Teorem 3
Bir üçgenin alanı, bir kenarının uzunluğunun ve ona çizilen yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlanır.
Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir
burada $a$ üçgenin bir tarafıdır, $h$ bu tarafa çizilen yüksekliktir.
Kanıt.
Figür 3.
Yani, $1$ Teoremine göre:
Teorem kanıtlandı.
Teorem 4
Bir üçgenin alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun çarpımının yarısı ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü olarak tanımlanır.
Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir
burada $a,\b$ üçgenin kenarlarıdır, $\alpha$ aralarındaki açıdır.
Kanıt.
Bize $AB=a$ olan bir $ABC$ üçgeni verilsin. $CH=h$ yüksekliğini bulalım. Bunu $ABCD$ paralelkenarına dönüştürelim (Şekil 3).
Açıkçası, üçgenlerin eşitliği için $I$ kriterine göre, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Daha sonra
Yani, $1$ Teoremine göre:
Teorem kanıtlandı.
Yamuğun alanı
Teorem 5
Bir yamuğun alanı, taban uzunlukları ile yüksekliğinin toplamının çarpımının yarısı olarak tanımlanır.
Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir
Kanıt.
Bize bir yamuk $ABCK$ verilsin, burada $AK=a,\ BC=b$. $BM=h$ ve $KP=h$ yüksekliklerinin yanı sıra $BK$ köşegenini de içine çizelim (Şekil 4).
Şekil 4.
$3$ Teoremine göre şunu elde ederiz:
Teorem kanıtlandı.
Örnek görev
örnek 1
Kenar uzunluğu $a.$ ise eşkenar üçgenin alanını bulun
Çözüm.
Üçgen eşkenar olduğundan tüm açıları $(60)^0$'a eşittir.
O zaman $4$ Teoremine göre elimizde
Cevap:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.
Bu problemin sonucunun, belirli bir kenara sahip herhangi bir eşkenar üçgenin alanını bulmak için kullanılabileceğini unutmayın.
Paralelkenarın alanı için formülün türetilmesi, alanı verilen paralelkenarın alanına eşit bir dikdörtgen oluşturmaya indirgenir. Paralelkenarın bir kenarını taban olarak alalım ve karşı taraftaki herhangi bir noktadan tabanı içeren düz çizgiye çizilen dikmeye paralelkenarın yüksekliği adı verilecektir. Daha sonra paralelkenarın alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımına eşit olacaktır.
Teorem.Paralelkenarın alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Kanıt. Alanı olan bir paralelkenar düşünün. Kenarı taban alıp yüksekliklerini çizelim (Şekil 2.3.1). Bunu kanıtlamak zorunludur.
Şekil 2.3.1
Öncelikle dikdörtgenin alanının da eşit olduğunu kanıtlayalım. Yamuk bir paralelkenar ve bir üçgenden oluşur. Öte yandan, bir NVSC dikdörtgeni ve bir üçgenden oluşur. Ancak dik üçgenler hipotenüs ve dar açı açısından eşittir (hipotenüsleri bir paralelkenarın karşıt kenarlarına eşittir ve 1 ve 2 açıları paralel doğruların ve bir çaprazın kesişimindeki karşılık gelen açılara eşittir), dolayısıyla alanları eşittir. Dolayısıyla paralelkenarın ve dikdörtgenin alanları da eşittir, yani dikdörtgenin alanı eşittir. Dikdörtgenin alanı teoremine göre, ancak o zamandan beri.
Teorem kanıtlandı.
Örnek 2.3.1.
Bir kenarı ve dar bir açısı olan bir eşkenar dörtgen içine bir daire yazılmıştır. Köşeleri dairenin eşkenar dörtgen kenarlarıyla temas noktaları olan bir dörtgenin alanını belirleyin.
Çözüm:
Dörtgen bir dikdörtgen olduğundan, açıları dairenin çapına dayandığından eşkenar dörtgen içine yazılan bir dairenin yarıçapı (Şekil 2.3.2). Alanı nerede (açının karşısındaki taraf). 
Şekil 2.3.2
Bu yüzden, 
Cevap:
Örnek 2.3.2.
Köşegenleri 3 cm ve 4 cm olan bir eşkenar dörtgenin tepe noktasından itibaren yükseklikleri çizilir ve dörtgenin alanı hesaplanır.
Çözüm:
Bir eşkenar dörtgenin alanı (Şekil 2.3.3).
Bu yüzden, 
Cevap:
Örnek 2.3.3.
Bir dörtgenin alanı, kenarları dörtgenin köşegenlerine eşit ve paralel olan bir paralelkenarın alanını bulun.
Çözüm:
O zamandan beri ve (Şekil 2.3.4), o zaman bir paralelkenardır ve dolayısıyla.
Şekil 2.3.4
Benzer şekilde, bunu takip eden şeyi de elde ederiz.
Cevap:.
2.4 Üçgenin alanı
Bir üçgenin alanını hesaplamak için çeşitli formüller vardır. Okulda öğrenim görenlere bakalım.
İlk formül paralelkenarın alanı formülünden gelir ve öğrencilere bir teorem şeklinde sunulur.
Teorem.Bir üçgenin alanı taban ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.
Kanıt.Üçgenin alanı olsun. Üçgenin tabanındaki kenarı alın ve yüksekliğini çizin. Bunu kanıtlayalım:
Şekil 2.4.1
Şekilde gösterildiği gibi bir paralelkenar üçgeni oluşturalım. Üçgenlerin üç tarafı da eşittir (ortak kenarları ve paralelkenarın karşıt kenarları), dolayısıyla alanları da eşittir. Sonuç olarak, ABC üçgeninin S alanı paralelkenarın alanının yarısına eşittir, yani. 
Teorem kanıtlandı.
Öğrencilerin dikkatini bu teoremden çıkan iki sonuca çekmek önemlidir. Yani:
Bir dik üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısına eşittir.
İki üçgenin yükseklikleri eşitse alanları tabanları olarak ilişkilidir.
Bu iki sonuç, çeşitli sorunların çözümünde önemli bir rol oynamaktadır. Buna dayanarak, problemlerin çözümünde geniş uygulama alanı olan başka bir teorem kanıtlanmıştır.
Teorem. Bir üçgenin açısı diğer üçgenin açısına eşitse alanları eşit açıları çevreleyen kenarların çarpımı olarak orantılıdır.
Kanıt. Açıları eşit olan üçgenlerin alanları ve olsun.
Şekil 2.4.2
Bunu kanıtlayalım: 
.
Bir üçgen uygulayalım. Tepe noktası tepe noktasıyla aynı hizada olacak ve kenarlar sırasıyla ışınlarla örtüşecek şekilde üçgenin üzerine yerleştirin.
Şekil 2.4.3
Üçgenlerin ortak yüksekliği vardır, yani... Üçgenlerin de ortak bir yüksekliği vardır; dolayısıyla. Ortaya çıkan eşitlikleri çarparak şunu elde ederiz: 
.
Teorem kanıtlandı.
İkinci formül.Bir üçgenin alanı, iki kenarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Bu formülü kanıtlamanın birkaç yolu var ve ben bunlardan birini kullanacağım.
Kanıt. Geometriden, bir üçgenin alanının tabanın çarpımının yarısına ve bu tabanın düşürdüğü yüksekliğe eşit olduğu iyi bilinen bir teorem vardır:
Dar bir üçgen durumunda. Geniş açı olması durumunda. Ho ve bu nedenle 
. Yani her iki durumda da. Geometrik formülde üçgenin alanı yerine ikame ederek üçgenin alanı için trigonometrik formülü elde ederiz:
Teorem kanıtlandı.
Üçüncü formül bir üçgenin alanı için - MS birinci yüzyılda yaşayan antik Yunan bilim adamı İskenderiyeli Heron'un adını taşıyan Heron formülü. Bu formül, kenarlarını bilerek bir üçgenin alanını bulmanızı sağlar. Herhangi bir ek yapı yapmanıza veya açıları ölçmenize izin vermemesi açısından kullanışlıdır. Onun sonucu, ele aldığımız üçgen alan formüllerinden ikincisine ve kosinüs teoremine dayanmaktadır: ve .
Bu planın uygulanmasına geçmeden önce şunu unutmayın:
Tam olarak aynı şekilde elimizde:
Şimdi kosinüsü ve cinsinden ifade edelim:
Bir üçgende herhangi bir açı daha büyük ve daha küçük olduğuna göre o zaman. Araç, 
.
Şimdi radikal ifadedeki faktörlerin her birini ayrı ayrı dönüştürüyoruz. Sahibiz:
Bu ifadeyi alan formülünde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
Okul matematik dersinde “Üçgenin alanı” konusu büyük önem taşımaktadır. Üçgen geometrik şekillerin en basitidir. Okul geometrisinin “yapısal bir unsurudur”. Geometrik problemlerin büyük çoğunluğu üçgenlerin çözülmesiyle ilgilidir. Düzenli ve keyfi bir n-gon'un alanını bulma sorunu bir istisna değildir.
Örnek 2.4.1.
Tabanı ve kenarı ise ikizkenar üçgenin alanı nedir?
Çözüm:
-ikizkenar,
Şekil 2.4.4
İkizkenar üçgenin medyan ve yükseklik özelliklerini kullanalım. Daha sonra 
Pisagor teoremine göre:
Üçgenin alanını bulma:
Cevap:
Örnek 2.4.2.
Dik bir üçgende, dar açının açıortayı karşı bacağı 4 ve 5 cm uzunluğunda bölümlere ayırır. Üçgenin alanını belirleyin.
Çözüm:
Let (Şekil 2.4.5). Sonra (BD bir açıortay olduğundan). Buradan elimizde 
, yani. Araç,
Şekil 2.4.5
Cevap: 
Örnek 2.4.3.
Tabanı eşitse ikizkenar üçgenin alanını bulun ve tabana çizilen yüksekliğin uzunluğu, tabanın orta noktalarını ve kenarı birleştiren parçanın uzunluğuna eşittir.
Çözüm:
Duruma göre – orta çizgi (Şekil 2.4.6). Elimizde olduğundan:
veya 
bundan dolayı, 
