Bir üçgenin yüksekliğinin hesaplanması şeklin kendisine bağlıdır (ikizkenar, eşkenar, çeşitkenar, dikdörtgen). Pratik geometride kural olarak karmaşık formüller bulunmaz. Tüm üçgenlere evrensel olarak uygulanabilmesi için hesaplamaların genel ilkesini bilmek yeterlidir. Bugün size bir şeklin yüksekliğini hesaplamanın temel ilkelerini, üçgenlerin yükseklik özelliklerine dayalı hesaplama formüllerini tanıtacağız.
Yükseklik nedir?
Yüksekliğin birkaç ayırt edici özelliği vardır
- Tüm yüksekliklerin birleştiği noktaya diklik merkezi denir. Üçgen sivri uçluysa, ortomerkez şeklin içinde bulunur; açılardan biri genişse, o zaman ortomerkez kural olarak dışarıda bulunur.
- Bir açısı 90° olan bir üçgende diklik merkezi ve tepe noktası çakışır.
- Üçgenin türüne bağlı olarak üçgenin yüksekliğini bulmak için çeşitli formüller vardır.
Geleneksel Bilgi İşlem
- P çevrenin yarısı ise, o zaman a, b, c gerekli şeklin kenarlarının gösterimidir, h yüksekliktir, o zaman ilk ve en basit formül şu şekilde görünecektir: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
- Okul ders kitaplarında, bir üçgenin kenarlarından birinin değerinin ve bu kenar ile taban arasındaki açının boyutunun bilindiği problemleri sıklıkla bulabilirsiniz. O zaman yüksekliği hesaplama formülü şu şekilde görünecektir: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
- Üçgenin alanı - S ve tabanın uzunluğu - a verildiğinde, hesaplamalar mümkün olduğu kadar basit olacaktır. Yükseklik şu formül kullanılarak bulunur: h = 2S/a.
- Şeklin etrafında tarif edilen dairenin yarıçapı verildiğinde önce iki kenarının uzunluğu hesaplanır, ardından üçgenin verilen yüksekliği hesaplanır. Bunu yapmak için şu formülü kullanırız: h = b ∙ c/2R, burada b ve c üçgenin taban olmayan iki tarafıdır ve R yarıçaptır.
Bu şeklin tüm kenarları eşdeğerdir, uzunlukları eşittir, dolayısıyla tabandaki açılar da eşit olacaktır. Bundan, tabanlara çizdiğimiz yüksekliklerin de eşit olacağı, bunların aynı zamanda kenarortay ve açıortay olduğu sonucu çıkıyor. Basit bir ifadeyle, ikizkenar üçgende yükseklik tabanı ikiye böler. Yüksekliği çizildikten sonra elde edilen dik açılı üçgen Pisagor teoremi kullanılarak ele alınacaktır. Kenarı a, tabanı b olarak gösterelim, o zaman yüksekliği h = ½ √4 a2 − b2 olsun.
Eşkenar üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?
Eşkenar üçgenin formülü (tüm kenarların eşit boyutta olduğu bir şekil) önceki hesaplamalara dayanarak bulunabilir. Üçgenin kenarlarından birinin uzunluğunu ölçmek ve bunu a olarak belirlemek yeterlidir. Daha sonra yükseklik şu formülle elde edilir: h = √3/2 a.
Dik üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?
Bildiğiniz gibi dik üçgenin açısı 90°'dir. Bir tarafın indirdiği yükseklik aynı zamanda ikinci taraftır. Dik açılı bir üçgenin yükseklikleri üzerlerinde olacaktır. Yükseklik hakkında veri elde etmek için, mevcut Pisagor formülünü hafifçe dönüştürmeniz, bacakları - a ve b'yi belirtmeniz ve ayrıca hipotenüsün uzunluğunu - c ölçmeniz gerekir.
Bacağın uzunluğunu bulalım (yüksekliğin dik olacağı taraf): a = √ (c2 − b2). İkinci bacağın uzunluğu tamamen aynı formül kullanılarak bulunur: b =√ (c2 − b2). Bundan sonra, önce şeklin alanını hesaplayarak, dik açılı bir üçgenin yüksekliğini hesaplamaya başlayabilirsiniz. Yükseklik değeri h = 2s/a'dır.
Çeşitkenar üçgen ile hesaplamalar
Bir çeşitkenar üçgenin dar açıları olduğunda, tabana indirilen yükseklik görülebilir. Üçgenin geniş bir açısı varsa, yükseklik şeklin dışında olabilir ve yüksekliğin bağlantı noktasını ve üçgenin tabanını elde etmek için zihinsel olarak devam etmeniz gerekir. Yüksekliği ölçmenin en kolay yolu, onu kenarlardan biri ve açıların boyutu aracılığıyla hesaplamaktır. Formül şu şekildedir: h = b sin y + c sin ß.
Bir üçgenin en büyük veya en küçük yüksekliği nasıl bulunur? Üçgenin yüksekliği ne kadar küçük olursa, çizilen yükseklik de o kadar büyük olur. Yani bir üçgenin yüksekliklerinin en büyüğü, en kısa kenarına çizilendir. - üçgenin en büyük kenarına çizilen.
Bir üçgenin en büyük yüksekliğini bulmak için üçgenin alanını bu yüksekliğin çizildiği kenarın uzunluğuna (yani üçgenin en küçük kenarının uzunluğuna) bölebiliriz.
Buna göre d Bir üçgenin en küçük yüksekliğini bulmak için Bir üçgenin alanını en uzun kenarının uzunluğuna bölebilirsiniz.
Görev 1.
Kenarları 7 cm, 8 cm ve 9 cm olan üçgenin en küçük yüksekliğini bulunuz.
Verilen:
AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.
Bulunan: üçgenin en küçük yüksekliği.
Çözüm:
Bir üçgenin en küçük yüksekliği, en uzun kenarına çizilen yüksekliktir. Bu, BC kenarına çizilen AF yüksekliğini bulmamız gerektiği anlamına gelir.
Gösterimin kolaylığı için gösterimi tanıtıyoruz
BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.
Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin alanının iki katının bu yüksekliğin çizildiği kenara bölünmesine eşittir. Heron formülü kullanılarak bulunabilir. Bu yüzden
Hesaplıyoruz:
Cevap:
Görev 2.
Kenar uzunlukları 1 cm, 25 cm ve 30 cm olan bir üçgenin en uzun kenarını bulun.
Verilen:
AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.
Bulmak:
ABC üçgeninin en büyük yüksekliği.
Çözüm:
Bir üçgenin en büyük yüksekliği en kısa kenarına çizilir.
Bu, AB kenarına çizilen CD yüksekliğini bulmanız gerektiği anlamına gelir.
Kolaylık sağlamak için şunu belirtelim
Bir üçgenin tüm parametrelerini ek yapılar olmadan belirlemek neredeyse hiçbir zaman mümkün değildir. Bu yapılar, kenarların ve açıların boyutunu belirlemeye yardımcı olan bir üçgenin benzersiz grafik özellikleridir.
Tanım
Bu özelliklerden biri üçgenin yüksekliğidir. Yükseklik, bir üçgenin köşesinden karşı kenarına çizilen dikmedir. Tepe noktası, üç kenarla birlikte bir üçgen oluşturan üç noktadan biridir.
Bir üçgenin yüksekliğinin tanımı şu şekilde olabilir: Yükseklik, üçgenin tepe noktasından karşı kenarı içeren düz çizgiye çizilen diktir.
Bu tanım kulağa daha karmaşık gelse de durumu daha doğru yansıtıyor. Gerçek şu ki, geniş açılı bir üçgende yüksekliği üçgenin içine çizmek mümkün değildir. Şekil 1'de görüldüğü gibi bu durumda yükseklik dıştadır. Ayrıca dik üçgende yüksekliğin oluşturulması standart bir durum değildir. Bu durumda üçgenin üç yüksekliğinden ikisi bacaklardan, üçüncüsü ise tepe noktasından hipotenüse geçecektir.
Pirinç. 1. Geniş bir üçgenin yüksekliği.
Tipik olarak bir üçgenin yüksekliği h harfiyle gösterilir. Yükseklik diğer şekillerde de belirtilmektedir.
Bir üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?
Bir üçgenin yüksekliğini bulmanın üç standart yolu vardır:
Pisagor teoremi aracılığıyla
Bu yöntem eşkenar ve ikizkenar üçgenler için kullanılır. İkizkenar üçgenin çözümünü analiz edelim ve ardından aynı çözümün neden eşkenar üçgen için geçerli olduğunu söyleyelim.
Verilen: AC tabanına sahip ABC ikizkenar üçgeni. AB=5, AC=8. Üçgenin yüksekliğini bulun.
Pirinç. 2. Problemin çizimi.
Bir ikizkenar üçgen için hangi tarafın taban olduğunu bilmek önemlidir. Bu, eşit olması gereken kenarların yanı sıra belirli özelliklerin etki edeceği yüksekliği de belirler.
Tabana çizilen ikizkenar üçgenin yüksekliğinin özellikleri:
- Yükseklik medyan ve açıortay ile çakışıyor
- Tabanı iki eşit parçaya böler.
Yüksekliği ВD olarak belirtiyoruz. D noktasının yüksekliği tabanı ikiye böldüğü için DC'yi tabanın yarısı olarak buluyoruz. DC=4
Yükseklik bir diktir, yani BDC bir dik üçgendir ve BH yüksekliği bu üçgenin bir ayağıdır.
Pisagor teoremini kullanarak yüksekliği bulalım: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$
Herhangi bir eşkenar üçgen ikizkenardır, sadece tabanı kenarlarına eşittir. Yani aynı prosedürü kullanabilirsiniz.
Bir üçgenin alanı boyunca
Bu yöntem herhangi bir üçgen için kullanılabilir. Bunu kullanmak için üçgenin alanını ve yüksekliğin çizildiği tarafı bilmeniz gerekir.
Bir üçgendeki yükseklikler eşit değildir, bu nedenle karşılık gelen kenar için karşılık gelen yüksekliği hesaplamak mümkün olacaktır.
Üçgenin alanı formülü şu şekildedir: $$S=(1\over2)*bh$$, burada b üçgenin kenarı, h ise bu kenara çizilen yüksekliktir. Yüksekliği formülden ifade edelim:
$$h=2*(S\over b)$$
Alan 15 ise kenar 5 ise yükseklik $$h=2*(15\over5)=6$$ olur
Trigonometrik fonksiyon sayesinde
Tabandaki kenar ve açı biliniyorsa üçüncü yöntem uygundur. Bunu yapmak için trigonometrik fonksiyonu kullanmanız gerekecektir.
Pirinç. 3. Problemin çizimi.
Açı ВСН=300 ve BC kenarı=8. Hala aynı BCH dik üçgenine sahibiz. Sinüs kullanalım. Sinüs, karşı tarafın hipotenüse oranıdır; bu şu anlama gelir: BH/BC=cos BCH.
Açı, kenar gibi bilinir. Üçgenin yüksekliğini ifade edelim:
$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$
Kosinüs değeri genel olarak Bradis tablolarından alınır ancak trigonometrik fonksiyonların 30,45 ve 60 derece değerleri tablo sayılarıdır.
Ne öğrendik?
Üçgenin yüksekliğinin ne olduğunu, yüksekliklerin neler olduğunu ve bunların nasıl belirlendiğini öğrendik. Tipik problemleri çözdük ve bir üçgenin yüksekliği için üç formül yazdık.
Konuyla ilgili deneme
Makale derecelendirmesi
Ortalama puanı: 4.6. Alınan toplam puan: 137.
Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara veya uzantısına kadar inen diktir (bu dikin indiği tarafa bu durumda üçgenin tabanı denir).
Geniş açılı bir üçgende iki yükseklik kenarların uzantısına düşer ve üçgenin dışında yer alır. Üçüncüsü üçgenin içindedir.
Dar bir üçgende her üç yükseklik de üçgenin içinde yer alır.
Dik üçgende bacaklar yükseklik görevi görür.
Tabandan ve alandan yükseklik nasıl bulunur?
Bir üçgenin alanını hesaplamak için formülü hatırlayalım. Bir üçgenin alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: bir = 1/2bh.
- A üçgenin alanıdır
- b, üçgenin yüksekliğin alçaltıldığı tarafıdır.
- h - üçgenin yüksekliği
Üçgene bakın ve zaten bildiğiniz nicelikleri düşünün. Size bir alan verilmişse, onu "A" veya "S" olarak etiketleyin. Ayrıca kenarın anlamı da verilmeli, onu "b" olarak etiketleyin. Alan verilmiyorsa ve taraf verilmiyorsa başka bir yöntem kullanın.
Bir üçgenin tabanının, yüksekliğin alçaltıldığı herhangi bir kenar olabileceğini unutmayın (üçgenin nasıl konumlandırıldığına bakılmaksızın). Bunu daha iyi anlamak için bu üçgeni döndürebileceğinizi hayal edin. Bildiğiniz tarafı aşağıya bakacak şekilde çevirin.
Örneğin bir üçgenin alanı 20, bir kenarı 4’tür. Bu durumda “‘A = 20″‘, ‘‘b = 4′” olur.
Alanı hesaplamak için size verilen değerleri formülde yerine koyun (A = 1/2bh) ve yüksekliği bulun. Öncelikle (b) kenarını 1/2 ile çarpın ve ardından alanı (A) elde edilen değere bölün. Bu şekilde üçgenin yüksekliğini bulacaksınız.
Örneğimizde: 20 = 1/2(4)h
20 = 2 saat
10 = saat
Eşkenar üçgenin özelliklerini hatırlayın. Eşkenar üçgende tüm kenarlar ve tüm açılar eşittir (her açı 60˚'dir). Böyle bir üçgenin yüksekliğini çizerseniz iki eşit dik üçgen elde edersiniz.
Örneğin, kenarı 8 olan bir eşkenar üçgen düşünün.
Pisagor teoremini hatırlayın. Pisagor teoremi, ayakları "a" ve "b" olan herhangi bir dik üçgende "c" hipotenüsünün şuna eşit olduğunu belirtir: a2+b2=c2. Bu teorem eşkenar üçgenin yüksekliğini bulmak için kullanılabilir!
Eşkenar üçgeni iki dik üçgene bölün (bunu yapmak için yüksekliği çizin). Daha sonra dik üçgenlerden birinin kenarlarını etiketleyin. Eşkenar üçgenin yan tarafı, dik üçgenin hipotenüsü “c”dir. "a" ayağı eşkenar üçgenin kenarının 1/2'sine eşittir ve "b" ayağı eşkenar üçgenin istenilen yüksekliğidir.
Yani, kenarı bilinen 8 olan eşkenar üçgen örneğimizde: c = 8 ve a = 4.
Bu değerleri Pisagor teoremine takın ve b2'yi hesaplayın. İlk önce “c” ve “a”nın karesini alın (her değeri kendisiyle çarpın). Daha sonra a2'yi c2'den çıkarın.
42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48
Üçgenin yüksekliğini bulmak için b2'nin karekökünü alın. Bunu yapmak için bir hesap makinesi kullanın. Ortaya çıkan değer eşkenar üçgeninizin yüksekliği olacaktır!
b = √48 = 6,93
Açıları ve kenarları kullanarak yükseklik nasıl bulunur?
Hangi anlamları bildiğinizi düşünün. Kenar ve açı değerlerini biliyorsanız üçgenin yüksekliğini bulabilirsiniz. Örneğin taban ile kenar arasındaki açı biliniyorsa. Veya üç tarafın da değerleri biliniyorsa. Öyleyse üçgenin kenarlarını gösterelim: “a”, “b”, “c”, üçgenin açıları: “A”, “B”, “C” ve alan - “S” harfi.
Üç tarafı da biliyorsanız üçgenin alanına ve Heron formülüne ihtiyacınız olacak.
İki kenarı ve aralarındaki açıyı biliyorsanız alanı bulmak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz: S=1/2ab(sinC).
Size üç tarafın da değerleri verilmişse Heron formülünü kullanın. Bu formülü kullanarak birkaç adımı uygulamanız gerekecektir. Öncelikle “s” değişkenini bulmanız gerekiyor (bu harfle üçgenin çevresinin yarısını belirtiyoruz). Bunu yapmak için bilinen değerleri şu formülde yerine koyun: s = (a+b+c)/2.
Kenarları a = 4, b = 3, c = 5 olan bir üçgen için s = (4+3+5)/2. Sonuç: s=12/2, burada s=6.
Daha sonra ikinci adım olarak alanı buluyoruz (Heron formülünün ikinci kısmı). Alan = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Alanı bulmak için "alan" kelimesi yerine eşdeğer formülü girin: 1/2bh (veya 1/2ah veya 1/2ch).
Şimdi yükseklik (h) için eşdeğer bir ifade bulun. Üçgenimiz için şu denklem geçerli olacaktır: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Burada 3/2h=√(6(2(3(1))). 3/2h = √(36) olduğu ortaya çıktı. Bir hesap makinesi kullanarak karekökü hesaplayın. Örneğimizde: 3/2h = 6. Yüksekliğin (h) 4'e eşit olduğu, b tarafının taban olduğu ortaya çıktı.
Problemin koşullarına göre iki kenar ve bir açı biliniyorsa farklı bir formül kullanabilirsiniz. Formüldeki alanı eşdeğer ifadeyle değiştirin: 1/2bh. Böylece şu formülü elde edersiniz: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Aşağıdaki forma basitleştirilebilir: h = a(sin C) bilinmeyen bir değişkeni kaldırmak için.
Şimdi geriye kalan tek şey ortaya çıkan denklemi çözmek. Örneğin "a" = 3, "C" = 40 derece olsun. O zaman denklem şu şekilde görünecektir: “h” = 3(sin 40). Bir hesap makinesi ve sinüs tablosu kullanarak “h” değerini hesaplayın. Örneğimizde h = 1,928.
Üç kenarı da verilirse ve en iyi cevap alınırsa bir üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?
Yanıtlayan: Vusat Jafarov[aktif]
Kısaca şunu yapın: p*(p-a)*(p-b)*(p-c) kökü altındaki S = formülünü kullanarak alanı bulun, p bir yarım pirimetredir, şu şekilde buluruz: 15+13+14= 42, bu bir pirimetredir ve yarım pirimetre yarım pirimetre=21'dir ve a, b, c kenarlardır, a=15, b=13, c=14 ve 21* kökü altında S= elde ederiz (21-15)*(21-13)*(21-14), 21*6*8*7 kökünün altında S= elde ederiz, 7056'nın kökü S=, S=84!!!şimdi yüksekliği buluyoruz S=1/2 taban çarpı yükseklik formülünden, taban-CE; 84=1/2*14*h, 84=7*h, h=84/7, h=12. Cevap: yükseklik=12!!!
Yanıtlayan: Kullanıcı silindi[acemi]
Bu yüzden bazen moralim bozuluyor! 19 yaşındayım ve 3. sınıf için böyle bir problemi çözemiyorum, sıçtım! Utanmış!
Yanıtlayan: Al0253[guru]
Kes, tart. Kağıdın özgül ağırlığına bölün. Kağıdın kalınlığına bölün. Üçgenin taban uzunluğuna bölün. Sonuçta ortaya çıkan yükseklik...
Yanıtlayan: Mühendis[guru]
Öncelikle Heron'a göre üçgenin alanını kenarlarından belirliyoruz.
O zaman kendin tahmin edebilirsin.
Cevap 84
Yanıtlayan: LILU[aktif]
Yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler ve ardından Pisagor teoremini kullanırız. Ama temelde tembelsin.
Yanıtlayan: IomoN[guru]
Teşekkür ederim - “ALTIN çocukluğumu hatırladım))
Cevap: Yükseklik 12 cm ve çözüm... Çok basit)... Hiçbir formül yok)... Ancak Pisagor teoremine göre.
Bir üçgen çizin... yüksekliğin yanı sıra... Artık “orijinal olanın içinde” 2 üçgen görüyorsunuz.
CE tabanı M noktasının bulunduğu yerdir.
CM=X mesafesini belirtirsek MU=(14-X) mesafesini gösteririz.
Şimdi bu iki üçgenin yükseklik hesaplamasını eşitlersek X'i buluruz (denklemin hem sol hem de sağ tarafındaki karekök - hemen "kaldırırım"). Şunu elde ederiz:
15*15-X*X=13*13-(14-X) *(14-X).. . Doğru çözülürse SM=X=9 cm olur.
O halde gerekli yükseklik DM*DM=15*15-9*9=225-81=144'tür.
Karekökünü alıyoruz... ve DM=12 cm.
Yanıtlayan: 2 cevap[guru]
Merhaba! İşte sorunuzun yanıtlarını içeren bir dizi konu: Üç kenarın tümü verilmişse bir üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?